"음색"에 관련한 수학적 거짓말적(?)고찰 - 준비편 -부록 : 음색 스펙트럼 계산술

이 사이트는"음악"에 관하는 사이트. 당연, 읽는 분은 인문계, 자연과학계, 음악 전문가, 직업적(=프로)연주가/작곡가, 아마츄어 음악 애호가 등 여러가지 사람이 계신다고 생각합니다.

그런데, 인문계 사람에게는 죄송하지만, 이번은 마움껏 "자연과학계"적인 이야기를 전개합니다. 제재는 "푸리에(Fourier) 변환"…"푸리에 변환? 그것, 무엇인가?"라고, 말씀하시는 사람도 많을 것입니다. "푸리에 변환"(Fourier Transform)은, 음파, 기타 일반에 존재하는 "물결"이나 "진동" 또 "일반적인 신호"를 분석하는 경우에 아주 중요한 수학적 기술입니다. 그렇지만, 이 본문에서는 수식은 사용하지 않아 설명 할 예정입니다. (수식은 각주와 부록에 기재합니다.) 왜 제가 이것을 쓰고 싶어 졌는가? 단지 "푸리에 변환"에 대해서 해설하는 것 뿐으로는 재미있지 않다. 저는,이하와 같은 의문을 가진 것입니다.

1 : 피아노를 사용해 다른 악기의 음색을 흉내 할 수 없을까?
2 : 현악사중주에서는, 자주, "첼로(Cello, Violoncello)이 비올라(Viola)보다 높은 음역에서 선율을 담당하고, 비올라가 저음을 담당한다"라고 하는 것이 있다. 이것을 음색적으로 설명할 수 없을까?

다소는 "음악적 호기심"을 유혹할 것입니까?(^-^) 특히 그 1, 만일 가능하면 이것은 "대단한 것"이 됩니다. 그러나 이번은 거기까지 도달하지 않습니다. 이유는 이 문장을 써 있는 2003년 6월 23일(←일본어 원문을 작성한 일부입니다.), 명확한 회답이 아직 나오지 않는 것입니다(폭발!). 이 결과는 별도 설명 하기로 하고, 이번은 그 위한 준비를 합니다. "푸리에 변환"중에서도 비교적 이해하기 쉬운, "푸리에 급수"라고 한 도구로, 조금 수학적인 세계를 놀아 보겠습니다.

우선 "전제 지식". 소리는 "공기 진동"입니다. 특히 클래식 음악에서 사용되는 다수 악기의 소리는, "정해진 시간 간격으로 반복되는 공기 진동"입니다. (타악기는 예외입니다.) 예를 보이겠어요. 아래 그래프는 첼로(Cello, Violoncello)의 최저음, C0음의 파형을 나타낸 것입니다.

횡축은 시간 경과를 나타내고, 종축은 공기 진동 상태("변위"라고 합니다)를 나타냅니다. 같은 파형이 반복하고 있는 것이 알네요.

여기에서, 이하 2 단어를 도입합니다.

• "주기"(period) :파형이 1단위분 진동하기 위해 필요한 시간. (단위는 "초". 위의 그림에서는, 두드러지는 문자 "T"라고 쓴 길이의 시간)
• "진동수" 또는 "주파수"(frequency) : 물결이 1초간에 몇번 진동하는가, 그 횟수. (Hz(Hertz/헤르쯔)라고 하는 단위를 사용합니다.)

"주기"와 "진동수 (또는 주파수)"는 "역수" 관계로 있습니다. C0음에서는 진동수=65.4Hz(헤르쯔)-1초간에 65.4회 같은 파형을 반복 -이기 때문에(※각주1),주기는 1÷[진동수(주파수)]=1÷65.4≒0.0153초입니다.

그럼 주제를 시작합니다. 실은, 악기로서 사용하는 현이나 피리의 진동에서 발생한 음은,

[실제로 발생한 소리와 동일 진동수를 가지는 순음(pure tone)/기음(fundamental tone))] + [진동수가 2배인 순음(제2배음)] + [진동수가 3배인 순음(제3배음)] + [진동수가 4배인 순음(제4배음)] +…

다고 하 모양으로, n의 정수배 진동수를 가지는 "순음의 합"으로서 표현할 수 있습니다.

이 문장에서 "순음"이란, 소리 진동이 "정현파 곡선(사인 커브 / sine curve)"으로 표현되는 소리입니다. "정현파 곡선(사인 커브 / sine curve)"은 알고 계실 것이다고 생각합니다. 이후에서 설명하는 목적은, 이하의 2개입니다.

• (1) 실제에 악기에서 발생하는 소리에 관하는 예로, 현 진동이 여러가지 정현파음(=순음)의 합로서 표현할 수 있는 것을 확인함.
• (2) "주파수 스펙트럼"란 뭔가를 이해함.

그럼 시작해요. 앞에서 보인 첼로 C0음 음파가, "순음(=정현파음)"의 합계로서 표현되는 것을 나타냅니다. 최초로, 이하의 그림과 같은 6 개 순음을 준비합니다.

이들 6순음의 진폭을 나타내면, 이하 막대 그래프와 같아요.

이 순음 에트를 어떻게 만드는 것인지는 ※각주2를 보기로 하고, 지금은, 이 6개 순음을 하나씩 더해 합쳐 갑니다.

이 그래프가 그 결과입니다. 점선은 첼로C0음 음파 파형이고, 실선에 강조하고 있는 것이 배음을 합산한 파형입니다. 기음부터 제2배음, 제3배음…을 합산해 나가는 것에 따라서, 첼로 C0음 음파 파형에 점차 접근하고 있는 것을 안다고 생각합니다.

그 위에 배음을 가산하고, 오리지날의 첼로 음파 파형에 한층 더 접근할 수 있습니다. 그것을 가리키기 전에, 우선, 이하에 나타내는 그래프를 봐 주십시오.

이것은 첼로 C0음을 구성하는 배음의 진폭을 제20배음까지 늘어놓은 그래프입니다. 막대 그래프의 횡축이 기음과 각 배음 번호(번호1은 기음, 번호2,3,4,…는 각각 제2배음, 제3배음, 제4배음,…을 의미한다), 종축이 각각 부분음 진폭을 나타냅니다.

제10배음까지 합계한 파형은 첼로 C0음파 파형과 대개 일치하고 있습니다. 그 위에, 제20배음까지 더해 맞춘 것은, 작은 부분도 재현하고 있습니다. 악음은 순음의 합계로 표현할 수 있는 것입니다.

그럼, "주파수 스펙트럼"을 설명합니다. 여러가지 파형 그래프를 내는 도중에 보였다, "배음마다로 진폭을 나타내는 막대 그래프"를 다시 한번 보아 주십시오. 횡축에 있는 숫자1, 2, 3은 각각 기음, 제2배음, 제3배음의 것이지만, 이 각각 숫자에 대해 첼로 C0음의 주파수(진동수) 65.4(Hz)를 곱하면, 횡축은 그대로 "진동수 혹은 주파수"로서 생각할 수 있습니다. 즉, 이 그래프는, "첼로 C0음 음파에서는, 어떤 진동수/주파수의 순음이 어느 정도 셈으로 나는지"를 나타내는 것입니다. 이와 같이 횡축으로 진동수/주파수를 잡고, 종축에 각각 진동수/주파수의 순음 진폭을 나타낸 그래프를 "주파수 스펙트럼"라고 합니다.

다음은 "피아노"에 첼로와 같은 C0음을 내고, 마찬가지로 "순음 합성"으로 재현해 봅니다. 우선, 피아노 C0음 음파 파형을 봐 주십시오.

첼로 최저음(C0음)과 같은 음높음이기 때문에, 진동수(주파수)나 주기는 첼로 최저음과 같습니다. 그러나 파형은 첼로 최저음과는 다릅니다. 다만, 어디가 어떻게 구체적으로 다른 것인지를 수량적으로 파악하는 것을 파형 그래프부터 분석하는 것은 어려워요. 그래서, 순음의 합산에 표현하고, 그 특징을 보아 봅니다. 그래서, 순음의 합산에 표현하고, 그 특징을 보아 봅니다. 우선, 순음을 가산한 결과를 나타냅니다.

순서대로, "기음만", "제4배음까지 가산한 결과", "제8배음까지 헙산한 결과", "제20배음까지 헙산한 결과"를 나타냅니다. 첼로와 마찬가지로, 피아노 C0음 음파 파형이 재현 되어 나가는 것을 압니다.

주파수 스펙트럼은,

첼로의 주파수 스펙트럼과 몹시 다른데요. 일반적으로, 같은 크기의 음에서도, 악기가 다른 경우, 즉, "음색"이 다른 경우, 주파수 스펙트럼도 서로 다른 것입니다. 그 위에, 주파수 스펙트럼을 보면,
"피아노 C0은 제2배음이 매우 강하다"
"제2배음 밖에서는 음은, 첼로와 비교하면 전체적으로 약한 것 같다"
등, 첼로와 피아노에서는 어디가 어떻게 다른 것인지도 수치적으로 파악할 수 있습니다.

반대로, 이 "주파수 스펙트럼"이 정해지면, 음색도 정해집니다. 음색을 분석하기위해는, "주파수 스펙트럼"을 분석 하면 좋다. 이것이 포인트입니다. (※각주3)

파형을 정현파(소리에서는 "순음")를 가산하고 표현해, 주파수 스펙트럼을 산출해 해석하는 수법은, 파형 분석, 신호 분석에 빈번하게 사용되는 중요한 기술! 이러한 해석 수법을 고안한 사람은, 19세기 전반, 프랑스의 수학자 푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)입니다. "푸리에(Fourier)해석"이라고 하는 호칭도 이것에 유래합니다. 또 음파 등의 파형부터 "주파수 스펙트럼"을 산출하는 수법을 "푸리에 변환"이라고 합니다.

막상, 여기까지 읽어 보면, 당연, "주파수 스펙트럼의 형태와 음색은 어떤 관계로 있는 것인가?", 거듭 나아가고, "연주자나 작곡가는 이것을 어떻게 다루면 좋은가?"등, 여러가지 생각이 발생합니다. 니? 그런 생각은 발생하지 않는다? 발생하기로 해 주십시오(웃음). 그러나 이것은 일본어로도 생각하는 것도 큰일입니다. 한국어로 이 이상 고찰을 진행시키는 에너지는 현재 저에게는 없습니다. 저는 피곤해졌습니다(^.^;). 우선 "준비편"은 종료하고, 저는 잔다(폭발). 아? 이제 전부 읽었다? 다음 문장을 빨리 써라? 그렇게 말하는 분은 "부록 : 음색 스펙트럼 계산술"에 시간을 소비해 주십시오. 더우기, 이 "부록"은 수식이 듬뿍입니다.(^-^)b☆＼(--;)야야.

추가기재 : "실천편"을 새롭게 썼습니다.기다리게 했습니다, 이쪽으로부터 봐주세요. (2006년 6월 3일)

※각주1 : C0음 진동수 계산 방법을 설명합니다.
현재, a1음 진동수는 440Hz라고 정의뵙니다. 12등분평균율에서느 [반음 진동수비]=[2의 12승근]이므로, [단3도 진동수비]=[2의 12승근]×[2의 12승근]×[2의 12승근]=[2의 4승근]=1.189....
a1음부터 단3도 높은 c2음에서은 [진동수]=440×[2의 4승근]=523.25...(Hz)
C0음은 c2음부터 3옥타브 낮은 소리이므로,
[C0음 진동수]
= [c0음 진동수]×1/2
= [c1음 진동수]×1/2×1/2
= [c2음 진동수]×1/2×1/2×1/2
= 440×[2의 4승근]×1/2×1/2×1/2=65.40...(Hz)입니다.
(이 동그라미 표 ●를 선택하면 본문에고 돌아갑니다.)

※각주2 : 부록에 기재했습니다. (이 동그라미 표 ●를 선택하면 본문에고 돌아갑니다.)

※각주3 "파형은 각순음의 진폭뿐만 아니라 위상각으로도 의존하는 괄다"라고 지적하는 사람도 있는다고 생각합니다. 이 지적은 바릅니다. 단, 음파 파형은 다르지만 음색은 변하지 않습니다. 파형은 위상각으로 의존하지만 음색은 위상 각으로는 의존하지 않는 것입니다.
(이 동그라미 표 ●를 선택하면 본문에고 돌아갑니다.)